!set titb=-- 
!set keyw=
!set datm=20050119
!set prev=
!set next=
!set upbl=
!set dat1=19000101
!set dat2=24000101

!if $wims_read_parm!=$empty
 !goto $wims_read_parm
!endif

!exit

:content
<p class="p1">Le développement limité obtenu par le théorème de Young ou formule de Taylor-Young ne donne  que des renseignements locaux sur la fonction, c'est-à-dire au voisinage du point. C'est la formule de Taylor-Lagrange qui permet d'encadrer la fonction sur un intervalle.</p>
 
<h2>Cas particulier &#58; Le théorème des accroissements finis</h2>
<div class="thm"><b>Théorème</b> &#58; Soit 
!insmath f
 une fonction continue sur [a,b], dérivable 
sur ]a,b[. Il existe 
!insmath c
 dans  ]a,b[ tel que &#58;
<center>
!insmath f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
</center></div>
<p>
Ce théorème nous renseigne sur le comportement de 
!insmath f
 sur 
l'intervalle [a,b]  ; en particulier, si nous savons majorer, en valeur 
absolue, la dérivée de 
!insmath f
 sur cet intervalle, nous connaissons une 
estimation de l'erreur faite en remplaçant 
!insmath f(b)
 par 
!insmath f(a)
 &#58;
<center>
!insmath (\exists k \in \RR, \quad \forall x \in [a,b], \qquad |f'(x)|\leq k) \quad \Rightarrow \quad |f(b)-f(a)|\leq k (b-a)
</center>
<p>
<h2>Cas général &#58; La formule de Taylor-Lagrange</h2>
<div class="thm"><b>Théorème</b> &#58; Soit 
!insmath f
 une fonction de classe 
!insmath C^n
 sur 
[a,b] telle que la dérivée 
!insmath f^{(n+1)}
 existe 
sur ]a,b[. Il existe 
!insmath c
 dans  ]a,b[ tel que &#58;
<center>
!insmath f(b)=f(a) +  f'(a)(b-a)+f^{(2)}(a)\frac{(b-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)\frac{(b-a)^n}{n!}

!insmath +f^{(n+1)}(c)\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}
</center></div>
<p>
<p>
La formule de Taylor-Lagrange permet d'approcher une fonction par un 
polynôme sur un intervalle donné avec une estimation de l'erreur.
S'il existe 
!insmath k
 tel que pour tout 
!insmath x
 de [a,b], on ait 
l'inégalité &#58; 
!insmath |f^{(n+1)}(x)|\leq k
, alors l'erreur faite 
en remplaçant, pour 
!insmath x
 dans [a,b], 
!insmath f(x)
 par 
!insmath f(a) +  f'(a)(x-a)+f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots+f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}
 
est estimée par l'inégalité &#58;
<center>
!insmath |f(x)-f(a)-  f'(a)(x-a)-f^{(2)}(a)\frac{(x-a)^2}{2}+\dots-f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}|=

!insmath |f^{(n+1)}(c)\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}|\leq k\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}
</center>.
