KSEG

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はじめに/概要

入門

選択(Selecting)

構築作業(Constructing)

変換(Transforms)

計測と計算

編集と再構築

視界と画像出力(Views and Image Exporting)

構築(Constructions)

はじめに/概要

以下の作業の後にKSEGの最も基本的な文法に慣れて、自分で遊べる様になるだろう。より詳細な機能については、この文書をそのまま読もう。

KSEGの起動しよう。すると、(ツールバー、スクロールバー、メニューやステータスバーで囲まれている)スケッチウインドウがある真っ新な白い画板が現われる
画板の中心で右ボタンをクリックすると点Aが構成される。
画板の異なった位置でSHIFTキーを押しながら右ボタンをクリックすれば、点Bが出来る。SHIFTを押したままだと点Aは非選択にならないので、この操作の後でも二点が選択されたままである。
"New/Circle By Center And Point"(新規/中心点と点で円)をメニューから選ぼう。これで点Aを中心とする点Bを通る円が生成される。この円が出現すると選択された状態になり、点AとBは非選択となる。
点Bの上で左ボタンをクリックして、それを選択しよう(これで円も選択される)。それから、SHIFTを押しながら左ボタンを点Aの上でクリックし、それを選択しよう。
メニューから再度"New/Circle By Center And Point"(新規/中心と点) を選択しよう。すると、点Bを中心とし、点Aを通る円が構築される(何故なら最初に点Bを選択したからである)。
SHIFTを押しながら、最初に生成した円をクリックして選択しよう。そうすれば、両方の円が選択出来る。
"New/Intersection Points"(新規/交点)をメニューから選ぼう。二つの円の交点で二つの点が現われ、それらの両方が選択されている。
メニューから"New/Line"(新規/直線)を選ぼう。これで点Aと点Bの中点を通る垂線が構成される。
それから、点Aを左マウスボタンを押しながら引き回そう。これで、KSEG で何が行えるかアイディアが得られるだろう。

勿論、これはKSEGで2等分垂線を構成する最も効率的な方法ではない(しかし、コンパスと定規を用いた方法である)が、ここでの目的はどの様にして構築や選択を行うかを示す事にある。

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入門

KSEGはコンパスと定規を用いた動的な属性を簡単に可視化し、幾何学の探究を可能な限り素早く簡単に行う事を目的として設計された道具である。私が座ってKSEGで遊ぶと殆ど何時でも、以前知らなかった幾何学的な性質を見付ける程である。

KSEGで画面上の最初の各点を動的に構築し、それから、それらを直線や円と云った他の対象を構築する。それから構築した点を引き回して全体構成の応答が見られる。勿論、KSEGではそれ以上のものがあるが、これが基本的なアイディアである。私はまたLaTeXで使う為に高品質の幾何学的図形を生成するのに使っている。その一番簡単な方法はKSEGから.psファイルを生成して EPSファイルに変換し、それをXFIGで註釈を加えて、それからPS/LaTeX書式に出力する事である。

言葉の問題：KSEGでマクロ風の文書型の参照や、相互に依存するかもしれない幾何学的対象の参照でも"Construction"(構築)を用いる。それは通常、私が意味する文脈から明白なものだが、この文書では、私が文書型を参照する場合、"Construction"(構築)を大文字とし、幾何学的対象を参照する場合は小文字で"construction"(構築物)を用いる。

幾何学的対象(Geometric Objects)

点(Points)、直線(lines)、計測(measurements)、計算(calculation)、軌跡(locus)等は全て"幾何学的対象(geometric objects)"である。幾何学的対象はそれが依存する親(parent)となる幾何学的対象を持っているかもしれない。例えば、二つの点を構築してからそれらを通る直線を構築したのであれば、それらの点は直線の親であり、直線はそれらの点の子(child)になある。自由点を引っ張ると、その子孫達全てが再計算される。親を持つ対象を引っ張る時(これは逆引き回し(reverse dragging)と呼ぶ)、複雑なアルゴリズムで、引っ張った対象が望ましい動きをする様に、どの親を動かすかを決める。

交差しない円の交点の様に、ある幾何学的対象が幾何学的意味で"非存在"であるかもしれない。もしも、両者がより接近するならば、再度、それらの点が出現する。非存在である対象の子もまた非存在である(軌跡(locus)を例外とする。詳細は以下の軌跡の文書を見よ)。もし貴方が、点を引き回して二つの線分が交差しなくなって、突然、構築した対象の殆どが消えたとしても (消えた対象は、その交点の子孫である)、心配しなくても良い。再び交差すれば直ちに戻って来るだろう。

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選択(Selecting)

新しい対象を構築する為には、通常、存在するものを選択しなければならない。ここで、これを実行する為のオプションは：

何も無い所で左ボタンをクリックして、全ての選択された対象を非選択にする。
選択されていない対象の上で左ボタンをクリックして、その対象を選択し、その他のもの全てを非選択にする。
何も無い場所でマウスの左ボタンを押し、マウスを引っ張って、それからマウスボタンを離して出来た長方形に含まれる全ての対象を選択し、他の全てを非選択にする。
SHIFTを押しながら対象を左ボタンでクリックすると、その対象が既に選択されていなければそれが選択され、それ以外で非選択になる。選択されている他の対象はそのままである。
何も無い所でSHIFTを押しながらマウスの左ボタンを押しながらマウスを引っ張り、それからマウスボタンを離す事で出来た長方形に含まれる対象の全てが追加される。
構築(Construction)では、構築物表(Construction list)を通して選択している対象のオプションが得られる。クリックやマウスの引き回し、或いはSHIFTを使う事が出来る。他の手法とは違い、不可視で非存在の対象を選択しても良い事に注意しよう。

一つ以上の対象が存在する個所でクリックする時にはより複雑になる (KSEGにとって、-- 勿論、貴方にとって、これは非常に初歩的なものに思えるだろう)。対象は選択"重要度(precedence)"を持つ。これは点が第一、曲線、文字や軌跡(locus)が第二になり、充填された対象(filled object) が最後になる。もし、高い重要度を持った対象がマウスの下にあれば、それよりも低い重要度の対象は無視される。同じ重要度であれば、複数回クリックすれば、幾つかの選択可能なものを巡回する。クリックすれば、何が起きたのかが判り易い位置にStatus barが置かれている。

選択群(Selection Groups)

複数対象の選択でより強力な方法は、選択群(selection group)を使う事である。選択群は、それらで選択作業が容易に行える様にKSEGに纏めた事を伝えた対象の群である。"Edit/Selection Gtoups..."(編集/選択群)で、選択群の管理ウインドウ(文書に対応している)が出る。それを開くと、組込の選択群も含む文書で、全ての選択群の一覧ボックスが現われる。その組込の選択群はアスタリスク(*)で印が付いている。-- 全ての群がその型となる対象の全ての型に印がある。

selection group managerの一覧で選択群(selection group)を選択し、 Selectボタンを押した時、全ての群(group)の対象が選択され、他の全ての対象は非選択となる。SHIFTを押しながら、Selection(選択)ボタンをクリックすれば、その時点で選択されている対象を非選択にせずに、その群の対象が選択される。Deselect(非選択)ボタンをクリックすれば、その群の対象だけが非選択になる。少なくとも一つの選択された対象があれば、New Groupボタンが有効になる。それをクリックすれば、選択された対象で構築された新しい群が生成される。組込の群を削除する事は出来ない。

そのAffect Invisible Items checkboxは組込の群のみに影響する。それが(デフォルトの)非検証であれば、"All Points"(全ての点)は非隠蔽の点のみを参照する。検証されていれば、"All Points"は非隠蔽の点も同様に参照する。組込でない群は、隠蔽されたものも含めて、それらの中で、全ての対象を常に選択/非選択とする。

(非組込の)群は、もしその項目が(直接的に、或いはundoを通じて)削除されると、空になるかもしれない。その様な群は負符号で印付けられているが、自動的に削除されていない(何故なら、undo/redoがそれらの群の中で対象を元に戻せる)。一方で、空の群は文書と一緒に保存されない。

構築する事(Constructing)

新しい対象を構築すると、それが直ちに選択される。SHIFTを押しながら、右マウスボタンをクリックすれば、選択された点を除く他の全ての対象が非選択となる。

点(Points)

自由点を生成する為には、KSEGの画面の空の領域で右クリックする。
曲線上で右クリックをすれば、曲線(直線、線分、半直線、円、円弧) に含まれる点が構築される。
二つの直線の交点に含まれる点を構築する為には、交点で右クリックをする。他の方法に、メニューから"New/Intersection point(s)"(新規/交点)を選ぶ。二つの曲線が(少なくとも、潜在的に)二つの交点を持っている時、右クリックでは唯一つの点を構築するだけだが、メニューのオプションでそれらが構築出来る。
一つ、或いはそれ以上の線分の中点を構築する為には、それらを選択して、"New/Midpoint(s)"(新規/中点)を選ぼう。

二種類の点 --端点と中心点--もある。端点を持たない線分や、中心点を持たない円を既与のものGiven)として持つ事が構築(Constructions) では非常に便利である。線分、半直線(ray)や円弧の端点の構築では、それを選択して"New/Endpoint(s)"(新規/端点)をメニューから選ぶ。円や弧の中心点を構築する為には、それを選択して"New/Center Point" (新規/中心点)を選ぶ。

線分(Segments)

線分を構築する唯一つの方法がある。それは、二つかそれ以上の点を選択し、 "New/Segment(s)"を選ぶ事である。もし、二つの点が選択されていれば、一つの線分が構築される。もし、n>2個の点が選択されていれば、 n個の線分が構築される。

半直線(Rays)

一点から他の点を通る半直線(ray)を構築する事が、(順番に)二つの点を選択して"New/Ray"(新規/半直線)を選択する事で可能である。複数の半直線を生成する為には、二つ以上の点を選択する。
角度の2等分を構築する為には、角度を定義する3点を選択し、 "New/Angle Bisector"(新規/角の2等分)を選ぶ。2等分は常に鋭角側を2等分する。

直線

直線を構築する為には、二つやそれ以上の点を選択し、"New/Line(s)" (新規/直線)をメニューから選ぶ。
ある点を通り、与えられた直線と並行な直線を構築する為には、点と直線(線分や半直線も同様に利用可能である)を選択し、 "New/Parallel Line"(新規/平行線)を選択する。複数の点や直線や線分 (両方は駄目)を選択しても良い。
直線の垂線を構築する場合は平行線の様に選択するが、だた、異なるのは、メニューから"New/Perpendicular Line(s)"(新規/垂線)を選ぶ事である。

円

与えられた中心と与えられた一点を通る円を構築するには、中心点と円が通る点を選択し、"New/Circle By Center And Point" (新規/中心点と一点で円)を選ぶ。
与えられた中心点と与えられた半径の円を構成する為には、中心点と、その長さが半径となる線分を選択し、 "New/Circle By Center And Radius"(新規/中心点と半径で円)を選ぶ。

弧(Arcs)

弧は3点を選択して、"New/Arc By Three Points"(新規/3点で弧)をメニューから選ぶ事だけで構築される。

軌跡(loci)

軌跡(locus)は曲線に沿って点("駆動部")が動くのに従って("被駆動"対象となる)他の幾何学的対象の経路を表現する幾何学的対象である。軌跡を構成する為には曲線上の点とその点の子孫を選択する。被駆動対象に点、曲線や他の軌跡(但し、これは本当に遅い)でさえもあって良い。もし、被駆動対象が非存在であったとしても、軌跡が存在し得る。何故なら、その駆動対象が異った位置にあれば被駆動対象が存在するかもしれないからである。

例えば、Lを直線、AをL上の点、BをL 上にない点、そして、KをAを通るABの垂線とする。そこで、Kを被駆動対象、Aを駆動部とすると、Kが描く軌跡の包絡は放物線になり、それはLに対して接線となる焦点 Bを持つ。

軌跡は幾何学的対象の無限集合なので、KSEGはそれを正確に計算出来ない。実際、検定によって軌跡を近似している。KSEGが特定の軌跡に対して行なう検定数を変更出来る。それは、軌跡の上でダブルクリック、或いはそれを選択し、"Edit/Change Number Of Samples..."(編集/検定数を変更)を選択して行う。特定の場合は被駆動対象が点の場合である。この場合、KSEGは自動的に検定された点を繋ぎ、軌跡が滑かで正確になる様に妥当なアルゴリズムを用いる。この場合、指定した検定数は実際に実行される検定数の単なる上限となる。アルゴリズムが軌跡が十分良いと判断すれば検定を停止するかもしれないからである。これは適合するアルゴリズムにより、KSEGに似たプログラムで生成されたものと比べて一般的に見栄えの良い軌跡が得られる

充填された対象(Filled Objects)

多角形内部を構成する為には、三点以上を選択して、"New/Polygon" (新規/多角形)を選ぶ。
扇型(arc sector)を構成する為には、弧を選んでから"New/Arc Sector" (新規/扇型)を選ぶ、弓型(Arg segment)に関しては、弧を選択してから、 "New/Arc Segment"(新規/弓型)を選ぶ。
円内部を構成する為には、円を選択して、"New/Circle Interior" (新規/円の内部)を選ぶ。

変換(Transforms)

KSEGでは、幾つかのAffine変換を幾何学的対象に作用させる事が可能である。 "Transform/××"(変換/××)と云ったメニュー項目を使って変換を定義する為、"××"に対応する幾つかの対象を選ぶのが一般的な手続である。それから、変換する対象を選択して、Transformメニューから適切な作用を選ぶと、選択された対象を変換した複製が生成される。これが詳細である：

選択するもの:

ベクトルを選ぶ為には、二つの点を選択して"Transform/Choose Vector" (変換/ベクトルを選出)に行く。そのベクトルは最初に選択された点から二番目に選択されたものに向く。
鏡像を選ぶ為には、直線、線分や半直線を選択し、 "Transform/Choose Mirror"(変換/鏡を選ぶ)に行く。
中心点を選ぶ為には、ある点を選択し、"Transform/Choose Center" (変換/中心を選出)を選ぶ。
角度を選ぶ為には、一緒に3個の点か、一つの秤か計算機を選択し、 "Transform/Choose Angle"(変換/角度を選ぶ)を選ぶ。
半径を選ぶ為には、二つの線分、一つの計測、或いは計算の何れかを選択し、"Transform/Choose Ratio"(変換/半径を選出)を選ぶ。

現在選ばれている対象群は、何が変換されるのかが判る様に黄色で印が付けられている。もし、変換を実行して、黄色の印(美学的、或いはスナップショットの為に、それらは印刷時には現われない)を外したければ、 "Transform/Clear Chosen"(変換/選出を解除)を選ぶ。

対象を平行移動(translate)したければ、ベクトルを選ばなければならない。
対象を鏡像変換(reflect)したければ、鏡を選ばなければならない。
対象を拡大・縮小(scale)したければ、中心と倍率を選ばなければならない。
対象を回転(rotate)したければ、中心と角度を選ばなければならない。

比や角度について選ばれた計測や計算で対象が変換可能であれば、コンパスと定規を使って出来ない構築が簡単に生成出来る。これに注意を払っても良いが、それは楽しい事でもある -- 例題のcoord.segファイルにKSEGで軌跡として助変数付き曲線のグラフの作り方を載せている。

計測と計算(Measuring and Calculating)

様々な幾何学的諸量をKSEGで計算が可能であり、その計測(measuring)を用いて計算(calculating)も行なえる。全ての距離単位は画素で、角度は度である。ここで計測可能なものは：

点と曲線や他の点の間の距離を計測する為には、二つの幾何学的対象を選択し、"Measure/Distance"(計測/距離)をメニューから選ぶ。
線分の長さを計測する為には、線分を選んで"Measure/Length" (計測/長さ)を選ぶ。
円周を計測する為には、円を選択してから"Measure/Circumference" (計測/円周)を選ぶ。
弧の長さを計測す為には、弧を選択してから"Measure/Arc Length" (計測/弧の長さ)を選ぶ。
弧や円の半径を計測する為には、対象を選択して、"Measure/Radius" (計測/半径)を選ぶ。
3点で定義された角度を計測する為には、3点を選択して、 "Measure/Angle"(計測/角度)を選ぶ。
二つの線分の長さの比を計測する為には、それらを選択してから "Measure/Ratio"(計測/比)を選ぶ。
線分、rayや直線の傾きを計測する為には、対象を選択してから "Measure/Slope"(計測/傾き)を選ぶ。
充填された対象の面積を計測する為には、多角形、扇型、弓型や円内部を選択して、"Measure/Area"(計測/面積)を選ぶ。もし、"悪い"多角形 (単純閉曲線になっていないもの)を選択した場合、その計測された"面積"はその画面上に出ている面積に等しくならない。

計算では幾つかの計量を組合せる事が可能である。計算を行う為には。 "Measure/Calculate..."(計測/計算...)をメニューから選ぶか、或いは存在する計測の上でダブルクリックする。もしも、何も選択されずに計測や計算が選択されていれば、メニューのオプションで"空"の計算を生成するが、もし、計測や計算が選択されていれば、選択された物を参照した計算を行う。ダブルクリックすれば、ダブルクリックした計測を参照した計算を行う。その両方の場合で、計算編集ウインドウに計算したい公式を入れる事が出来る。もし、既存の計算をダブルクリックすると、計算編集ウインドウが開かれて、その計算を編集する事が出来る。

計算EditorではUndoのスタックはKSEGの残りのundoスタックとは完全に分離したもので、計算編集rウインドウが閉じられると即座に失なわれる。

計算editorウインドウの中で、数字、通常の算術演算を入力したり、根、羃や商をツールバーから(或いは、ショートカットキーでCTRL+2、CTRL+6、 CTRL+/を使って)選択する事が可能である。以下の函数も利用可能である：

sqrt, log, exp, floor, ceil, fabs, sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, asin, acos, aも利用可能である：

sqrt, log, exp, floor, ceil, fabs, sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, asin, acos, aも利用可能であ�